Aljabar

Nama : Annisa Eka Fadhilah

NIM   : 2001105020

Kelas  : 2D

Materi Kelas 7 SMP Semester 1 Bab 3

Bentuk Aljabar, Rumus Aljabar, dan Operasi Aljabar

Blog ini penulis dedikasikan untuk semua orang yang peduli terhadap pendidikan, khususnya dalam bidang Matematika. Untuk para guru, mahasiswa, siswa, maupun orang tua. Keberadaan blog ini diharapkan dapat membantu guru mencari bahan referensi dalam melakukan pembelajaran di kelas. Baik mengenai model-model pembelajaran yang akan mereka terapkan maupun media pembelajaran yang akan dipakai.

Bagi mahasiswa, blog ini diharapkan mampu menjadi bahan rujukan dalam mencari mata kuliah mereka, informasi umum mengenai perkuliahan, serta dapat menjadi tutorial dalam tugas-tugas kuliah, seperti pengetikan, pembuatan presentasi dan sebagainya. Sama halnya bagi siswa. Blog ini diharapkan mampu memberikan motivasi lebih kepada mereka untuk terus belajar dan terus  berkarya. Untuk para orang tua, blog ini diharapkan mampu menjadi panduan mereka dalam memberikan pendidikan di luar sekolah bagi putra-putri mereka.

Pada blog ini akan lebih ditekankan mengenai aljabar. siapa yang pernah dengar kata aljabar? Ini merupakan satu cabang matematika dalam pemecahan masalah dengan menggunakan huruf-huruf untuk mewakili angka-angka. Berasal dari bahasa Arab, al-jabr yang artinya penyelesaian. Kamu tahu siapa penemunya? Ia merupakan cendikiawan bernama Al-Khawarizmi. aljabar yang akan dibahas pada blog ini, antara lain Pengertian Aljabar, Bentuk Aljabar, Rumus Aljabar, dan Operasi Aljabar. 

A. Pengertian Aljabar atau Algebra

    Aljabar adalah bagian dari ilmu matematika meliputi teori bilangan, geometri, dan analisis penyelesaiannyaSecara harfiah, aljabar berasal dari bahasa arab yaitu الجبر‎ atau yang dibaca "al-jabr". Ilmu ini dibuat oleh  Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī  dalam bukunya mengenai konsep dan bentuk aljabar ditulis sekitar tahun 820, yang merupakan seorang matematikawan, astronomer, dan geograf. Ia dijuluki sebagai "The Father of Algebra". Dalam bahasa inggris, aljabar dikenal dengan  istilah "algebra".

B. Bentuk Aljabar

     Bentuk aljabar adalah teknik yang digunakan untuk menyajikan suatu masalah  matematika dengan simbol atau huruf sebagai peubah suatu objek dalam masalah  tersebut. Terdapat 7 istilah umum yang perlu    diketahui untuk memahami bentuk suatu aljabar dasar, yaitu:

    1. Rumus Persamaan

        Persamaan adalah suatu teknik matematika yang digunakan untuk menyamakan suatu permasalahan ke         bentuk matematika dengan tanda persamaan atau sama  dengan (=). Bentuk ini dapat berupa bentuk yang        paling sederhana hingga kompleks. Persamaan dapat digunakan untuk membentuk suatu rumus matematika      terhadap suatu masalah.

        Contoh : 

        Masalah :

      Jumlah kelereng Xeon dan Yuni adalah 10 buah. Jika kelereng yuni sebanyak 3 buah. Berapa    jumlah kelereng Xeon?

        Diketahui : 

        Ubah kelereng Yuni menjadi variabel y

        Ubah kelereng xeon menjadi variabel x

        y = 3

        x + y = 10

        Catatan : x + y = 10 merupakan persamaan matematika dari jumlah kelereng Xeon dan Yuni

        Ditanyakan : 

        berapakah nilai x?

        Penyelesaian :

        x + y = 10

        x = 10 - y

      Pada dasarnya untuk memindahkan suatu nilai ke ruas lain, sama artinya dengan menghilangkan    nilai tersebut di ruas asal. Berikut penjelasannya untuk kasus diatas. 

        x + y = 10

        x + y - y = 10 - y

        x = 10 - y

        Sehingga, untuk mempercepat perhitungan dapat langsung menulis lawan nilai yang dipindahkan.

        x + y = 10

        x = 10 - y

        Diketahui nilai y = 3, diperoleh 

        x = 10 - 3

        x = 7

        Karena nilai x = 7

        Jadi, Kelereng Xeon berjumlah 7 buah

    2. Variabel (Peubah)

       Variabel adalah suatu simbol atau huruf yang digunakan untuk menggantikan  suatu nilai yang bersifat tidak tetap (berubah-ubah tergantung persamaan yang memuatnya). Variabel dalam bahasa inggris dise  but dengan "variable" (dieja ˈve(ə)rēəbəl) , dan juga disebut "peubah" dalam bahasa Indonesia. Variabel dapat  disimbolkan dengan huruf latin (a, A, b, B, c, D, dan seterusnya).

          3x + 4y + z = 0

          Pada persamaan tersebut, terdapat 3 variabel, yaitu x, y dan z.

    3. Koefisien (Coefficient)

Koefisien adalah nilai yang digunakan untuk mengalikan suatu variabel. Koefisien dalam bahasa inggris disebut dengan "coefficient". Nilai koefisien = 1 dapat tidak ditulis.

        3x + 4y + z = 0

• nilai koefisien x adalah 3.

• nilai koefisien y adalah 4.

• nilai koefisien z adalah 1 (Koefisien 1 dapat tidak ditulis).

     3.1 Menghitung variabel dengan koefisien
            Suatu persamaan 3x = 12, berapakah nilai variabel x ?
            Penyelesaian :
            3x = 12
            3. x = 12
            x = 12/3 = 4
            Catatan : perpindahan koefisien suatu ruas = membagi ruas lain dengan nilai koefsisien tersebut.
            Jdi, variabel x =  4

      3.2 Menghitung variabel dengan koefisien pada persamaan
            Menghitung nilai koefisien menjadi lebih kompleks saat ia berada pada suatu persamaan
             3x + 12y = 6
             Untuk menyelesaikan solusi variabel x dapat diperoleh dengan memisahkan semua objek selain x keruas kanan, berikut: 
             3x + 12y = 6
             3x = 6 - 12y
               x = 6/3 - 12y/3
              x = 2 - 4y
             Untuk menyelesaikan solusi variabel y dapat diperoleh dengan memisahkan  semua objek selain  y keruas kanan, berikut:

             

   4. Konstanta  (Constant)

      Konstanta adalah suatu nilai yang bersifat tetap (constant) pada suatu bentuk  aljabar. Konstanta           dalam bahasa inggris disebut dengan "constant". Ciri-ciri yang  paling umum suatu konstanta yaitu        tidak berikatan dengan suatu variabel. Untuk  rumus-rumus khusus, konstanta dapat disimbolkan            dengan huruf (misalnya: a, b, lainnya) atau berupa simbol khusus.

       4.1 Contoh konstanta pada persamaan umum

        

        4.2 Contoh konstanta pada rumus khusus
              Suatu konstanta pada rumus-rumus khusus disimbolkan dengan nilai tertentu,  misalnya                          rumus keliling lingkaran :
              

  

   5. Eksponen (Pangkat)
       Suatu variabel dalam suatu bentuk aljabar dapat memuat pangkat (eksponen). Operasi pangkat mempunyai prioritas kedua sejajar dengan operasi akar setelah tanda kurung dalam operasi hitung  matematika. 
       

       Misalnya nilai x adalah 4, maka dapat dihitung nilai y sebagai berikut:

       Misalnya nilai x adalah 4, maka dapat dihitung nilai y sebagai berikut:
       

6. Derajat

Derajat pada suatu bentuk aljabar adalah nilai pangkat tertinggi yang dimuat variabel bentuk aljabar, berikut contohnya:      

Bentuk Aljabar	Derajat
3x	1
3x2 + 1	2
3x2 + 2x + 1	2
4x4 + 2y2 + 1	4
5x6 + y	6

7. Suku

Suku pada bentuk aljabar adalah total elemen yang dimuat oleh suatu bentuk aljabar. Suku digunakan untuk mempermudah mengkomunikasikan bentuk aljabar sehingga mudah untuk dibahasakan, berikut contohnya :

Aljabar	s1	s2	s3	s4	suku
2x	2x	-	-	-	1
2x+1	2x	1	-	-	2
3x2+2x-1	3x2	2x	1	-	3
4x3+3x2+2x-1	4x3	3x2	2x	1	4
dan lainnya	...	...	...	...	...

Suku-suku bentuk aljabar dibedakan menjadi suku sejenis dan suku tak sejenis:

7.1 Suku Sejenis 

      Suku sejenis adalah suku-suku yang mempunyai variabel dengan pangkat yang sama.

      a) x, 2x, 3x, 4x, dan lain-lain.

      b)  xy3, 2xy3, 8xy3, dan lain-lain.

7.2 Suku Tak Sejenis

      Suku tidak sejenis adalah suku-suku yang tidak mempunyai variabel yang sama.

       a) 2x, 2y, 3z, 4w, dan lain-lain.

       b) 8xy3, 3xy, dan lain-lain.

C. Operasi Aljabar

     Operasi aljabar pada umumnya hampir sama dengan operasi hitung bilangan bulat.

 C1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Aljabar

Operasi penjumlahan dan pengurangan aljabar hanya dapat dilakukan pada suku-suku sejenis.

Contoh 1: Menyederhanakan aljabar

Sederhanakan bentuk aljabar 2x + 3y + 7x - 2y?

Penyelesaian:

urutkan suku-suku yang sejenis
2x + 3y + 7x - 2y 
= 2x + 7x + 3y - 2y
= (2x + 7x) + (3y - 2y)
= 9x + y

Jadi, bentuk sederhana dari 2x + 3y + 7x - 2y adalah 9x + y

C2. Operasi Perkalian Aljabar

Contoh 1: Perkalian dengan konstanta

Perkalian dengan konstanta dilakukan dengan mengalikan nilai koefisien masing-masing variabel yang dioperasikan.

• 2y × 3 = 6y

• (3y + x) × 4 
  = (3y × 4) + (x × 4) 
  = 12y + 4x

• 3yz × 7 = 21yz

Contoh 2: Perkalian dengan variabel

perkalian dengan variabel dilakukan secara menyeluruh, baik koefisien maupun variabelnya.

• y × y = y2

• x2 × x 
  = x2 + 1 
  = x3

• 2yz × y = 2y2z

• (2x + 1) y 
  = (2x × y) + (1 × y) 
  = 2xy + y

C3. Operasi Pembagian Aljabar

Untuk mempermudah operasi pembagian aljabar, dilakukan dengan cara mengubah ke bentuk pecahan.

Contoh 1: Pembagian variabel dengan konstanta



Contoh 2: Pembagian variabel dengan variabel



Contoh 3: Pembagian variabel dengan variabel yang lebih kompleks



C4. Operasi Perpangkatan Aljabar

Contoh 1:

https://yos3prens.wordpress.com/about/

https://www.advernesia.com/blog/matematika/aljabar/